Monty Hall Problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

好久沒有更新部落格@@

我朋友uncle呢他寫了一個可以玩Monty Hall的程式

規則如下：

在三扇門中 有一扇門後有大獎~ 兩扇門後是空的

Step 1 :關主讓來賓先任選一個門(例如1號門)，在來賓選好之後，

Step 2 :關主會打開另外兩扇的其中一扇空的門(例如3號門)，

此時來賓似乎多了一些線索，但是仍不知道自己選的是不是對的

Step 3 :關主會給予來賓再一次的機會，來賓可以選擇要換 或者不換。

換，贏的機率高？

還是 不換贏的機率高？

我用一張圖來說明這個機率

 

在Step 1 中來賓選的門我們編號為1號，放在圖形的最左邊。

有兩種可能1/3選到有獎的門(大獎用紅球表示) 如左上圖所示

另外2/3會選到空的門。 如左下圖所示

接著在Step2時，關主指出了另外一扇門是空的，我們將這扇門編號為3號，並且放在最右邊，塗上藍色的部分。

若來賓選擇不換，則成功得獎的機會為1./3，失敗為2/3。

(如左上，左下圖所示)

但來賓若選擇換，如果一開始是選對的，

則有1/3的機會失敗(右上圖左示)。

但卻有2/3機會成功。(右下圖所示)

這裡我把所有情形用四張圖來表示的技巧，

要注意到實際物理上的門順序和圖中是不一樣的，

經過編號之後可以把不同的情形收納到同一個圖形來表示。

這是我的一個小小心得！

(1+a)(1-a)<1

逛了一下PTT數學板，想說來抒發一下自己的看法

1.1*0.9 < 1， 1.01*0.99<1， 除了數字上的解釋，還可以怎麼看?

For any 0<a<1, (1＋a)(1－a)=1－a^2 < 1 (since a^2>0)

But intuitively, we can also look at the graph！

y1=x 藍色線， y2=1/x 綠色線， y3=－x+2 紅色線。(對於y=x=1.1, y3=0.9)

我們希望討論 y1 *y3為什麼小於1( 這個1就是y1和反運算y2相乘的關係)

理想的來說y1*y2必定會等於一。如同代數所告訴我們的結果。

從圖中可以看到y=1/x的圖形是x*y=1(雙曲線的一支)，所以x和y他們的關係就是乘法的反運算。但是1/x的圖形不是”線性”的。當我們為了快速計算乘法反元素時，我們用估計的方式，例如1.1，我們可以變成1＋0.1，進而找到1－0.1(0.9)來當作反運算的近似值。當我們做這個動作的時候，我們是把y=x和y=－x+2兩條線在某一個x值處相乘，x=1+ (此兩條線通過皆(1,1)，皆為線性，斜率為1和－1)，顯然的紅色線的值S，比真正的反運算的值R還要小，因此圖形也和代數的結果一致。[當從(1,1)向右方走，把藍色線跟紅色線乘起來時，兩個方程式的值，P和S點到Q的距離都是 ]

另外一個重要的觀察是紅色線剛好是綠色線在(1,1)處的切線，因此當夠小時，紅色線跟綠色線幾乎相等，R跟S的高度差占的比例就會縮小，而使得S和R沒什麼兩樣，幾乎可以拿來當真正的反運算來做。

也就是說(1.0001)*(0.9999)乘起來效果比較好 幾乎就是1。

(1.00000001)*(0.99999999)和1的誤差又會更小。

 

y3其實就是真正反運算y2的一階泰勒展開(線性)！

容許某種誤差，增加計算速度就是泰勒展開的好處

1/1.1和 1-0.1 後者算起來比較快，雖然帶有誤差。

心得：”Simplification”

今天我看了這個影片

Lec 1 | MIT 6.002 Circuits and Electronics, Spring 2007

http://tinyurl.com/yem9huq

What is Engineering?

Steve Senturia : "Purposeful use of science"

課程一開始他講到一個整體EECS的樣貌

從一些觀測的數值，建立Physic laws(例如Maxwell's equation)，

並在某些假設條件下去簡化(例如使用F=ma時，假設物體是一個質點 - Point Mass Simplification；或者可以把Maxwell's Eq簡化成 KVL, KCL)，LCA(Lump Circuit Abstraction)[電阻，電容，電感]，接著是放大器的概念(AMP)，之後又可以有兩個路徑：

數位：

Basic Logic Gates=>特殊功能的Logic Function=>時序的概念-CLOCK=>指令集=>程式語言 (JAVA, C)=>作業系統=>電腦遊戲

類比：

(OPAMP)類比放大器=>Analog System Components(振盪器，濾波器)=>Toaster, Control System for power plant。

在這一個簡化的過程當中，我們不用每次處理問題都處理在基本的物理原理。

了解這個簡化的過程是做了什麼樣的假設，了解一個原理的使用適用在什麼範圍也是必要的。然後從此問題就變得很簡單！