(1+a)(1-a)<1

逛了一下PTT數學板，想說來抒發一下自己的看法

1.1*0.9 < 1， 1.01*0.99<1， 除了數字上的解釋，還可以怎麼看?

For any 0<a<1, (1＋a)(1－a)=1－a^2 < 1 (since a^2>0)

But intuitively, we can also look at the graph！

y1=x 藍色線， y2=1/x 綠色線， y3=－x+2 紅色線。(對於y=x=1.1, y3=0.9)

我們希望討論 y1 *y3為什麼小於1( 這個1就是y1和反運算y2相乘的關係)

理想的來說y1*y2必定會等於一。如同代數所告訴我們的結果。

從圖中可以看到y=1/x的圖形是x*y=1(雙曲線的一支)，所以x和y他們的關係就是乘法的反運算。但是1/x的圖形不是”線性”的。當我們為了快速計算乘法反元素時，我們用估計的方式，例如1.1，我們可以變成1＋0.1，進而找到1－0.1(0.9)來當作反運算的近似值。當我們做這個動作的時候，我們是把y=x和y=－x+2兩條線在某一個x值處相乘，x=1+ (此兩條線通過皆(1,1)，皆為線性，斜率為1和－1)，顯然的紅色線的值S，比真正的反運算的值R還要小，因此圖形也和代數的結果一致。[當從(1,1)向右方走，把藍色線跟紅色線乘起來時，兩個方程式的值，P和S點到Q的距離都是 ]

另外一個重要的觀察是紅色線剛好是綠色線在(1,1)處的切線，因此當夠小時，紅色線跟綠色線幾乎相等，R跟S的高度差占的比例就會縮小，而使得S和R沒什麼兩樣，幾乎可以拿來當真正的反運算來做。

也就是說(1.0001)*(0.9999)乘起來效果比較好 幾乎就是1。

(1.00000001)*(0.99999999)和1的誤差又會更小。

 

y3其實就是真正反運算y2的一階泰勒展開(線性)！

容許某種誤差，增加計算速度就是泰勒展開的好處

1/1.1和 1-0.1 後者算起來比較快，雖然帶有誤差。